Algunas Disquisiciones Sobre el Punto de Burbuja

Un poco de filosofía

Cuando uno adquiere el compromiso de escribir un blog, también adquiere el de mantenerlo, y a veces éste último es el más difícil de cumplir. Por las estadísticas de visitas al aitio Web, el tema de diseño de plantas es lo que más gusta, pero es el tema más difícil de abordar porque toma un tiempo muy grande.

Con respecto al tema del diseño de plantas, el amable lector Ingeniero Químico debe reconocer que para diseñar una planta (en realidad, un instalación industrial constituida de varias plantas) hay que primero saber diseñar los equipos, y que para diseñarlos hay que tener muy claros los conceptos de los fenómenos de transferencia, y de la termodinámica.

Por eso se me ocurrió el tema que queda señalado, para lo que hube de ponerme a mirar los conceptos que les menciono con mucha claridad, que en mi formación (del siglo pasado), no los recibí ni en pregrado, ni en postgrado.

El tema y su tratamiento

La primera cosa que me ocurrió fue que había que elegir un problema. Y para eso busqué primero un algoritmo, en el libro Smith, que usé en mi post grado, pero la verdad es que me desilusioné, porque no es un libro algorítmico, porque es de la época en que el IBM 1130, que tenía menos memoria que mi iPhone.

Entonces me acoré de un libro que, en su tiempo me pareció complicado, el famoso Multicomponent Distillation, de (Holland), que sí es algorítmico, y por lo tanto hecho para aplicar los métodos que allí se exponen en la computadora, aunque coincidentemente hayan sido publicados, los dos, en 1962.

Leyendo a Holland me enteré que él se había basado en el famoso libro de Brown, para tratar el tema, y entonces me dije que quizá podría ser de interés para mis lectores, y por eso lo abordé.

El concepto

Para Holland –y para todos, por lo menos hasta que nos damos cuenta (y hablo por mi), la destilación flash es una destilación multicomponente de una sola etapa. ¿Verdad de Perogrullo?: Si y no, porque una vez que se lee la afirmación de Holland, es obvia, y antes no lo es.

¿Genialidad de Holland de presentar el tema de los multicomponentes en forma algorítmica?, o sabía que venía el IBM 360, que haría aplicable todo lo que él propone en su libro? Nunca lo sabremos. La verdad es que en mi postgrado trabajábamos esos problemas con unos calculadores carísimos a tubos de vacío, de cuatro operaciones.

Más conceptos

Uno debe aproximarse A las mezclas multicomponentes en la dirección que va desde el líquido hacia el vapor si de una expansión flash se trata.

Si así se procede entonces lo que primero se encuentra es el punto de burbuja, que es la temperatura a la que se forma la primera burbuja (realmente es el comienzo de la ebullición). Pero como se trata de una mezcla no se empieza a evaporar hasta que no se llega al punto de rocío, que es la temperatura a la que se comienza a formar vapor. Entre estas dos temperaturas hay una zona de transición.

El punto de burbuja

Aquí yo voy a utilizar los subíndices que usé en mi programa, para evitar confusiones.

La primera ecuación es una verdad termodinámica más grande que una casa, que lo único que dice es que la suma de las fracciones molares en fase líquida multiplicada por el coeficiente de reparto K(zz), que es igual a y(kk)/x(kk).

En el caso que nos ocupa, y habiendo sido Holland profesor del Departamento de Ingeniería Química del Agricultural and Mechanical College of Texas, el ejemplo, que él tomó de (Brown) corresponde a una mezcla de hidrocarburos n-C2, n-C3, i-C3, n-C4, i-C4, n-C5, i-C5, y n-C6.

En esos tiempos se trabajaba en psia, y las tablas de Holland, que él toma del Natural Gasoline Asssociation of América, se presentan en forma de expansiones polinomiales de K(zz)=f(T), a 50 psia, donde la temperatura está en grados Rankine.

En este punto me di cuenta que las tablas de Holland que yo estaba mirando no abarcaban los compuestos iso y entonces procedí a modificar la mezcla sumando las fracciones molares de los hidrocarburos normales  a las de los iso y tomando esa suma como si se tratase de sólo de hidrocarburos normales.

Después me di cuenta que algunas combinaciones de coeficientes estaban bien, porque obtenían los valores de Brown y otras no, pero ya estaba metido en el baile y debí hacerles algunas “correcciones” (educated guesses), hasta que obtuve números de K(kk) que hacían lógica, ya que mientras más pesado es el hidrocarburo menor es su volatilidad, y menor es su K(kk).

De todo esto resultó que de siete hidrocarburos que aparecen en el problema de Brown yo me reduje a cinco, como les indico a continuación.

Figura1

Figura 1. Valores de K para la estimación de Punto de burbuja de la alimentación

La condición para poder calcular el punto de burbuja, que se convierte en ecuación es la siguiente.

Ecuacion1

El problema se reduce, entonces a encontrar la temperatura que satisfaga la ecuación anterior, que –escrita como función- queda como se muestra a continuación, y se conoce como la curva de temperatura de punto de burbuja de la mezcla de alimentación al tambor flash.

Ecuacion2

Esto significa, que la función puede graficarse (de hecho Hollan lo muestra en su página 16, Cáp.2, donde manifiesta que en vez del método numérico de Newton-Raphson se debe usar el método de Regula Falsi, que funciona con dos aproximaciones.

El gráfico obtenido fue el siguiente.

Figura2

Figura 2. Trazo de la Función de Punto de Burbuja

Lo interesante de todo esto, por lo menos para mí, es que la discusión acerca de qué método numérico usar para determinar el Punto de Burbuja de la mezcla no es importante porque cualquiera puede leer el  gráfico anterior, y saber ipso-facto, que el punto de burbuja es 570oR “y piquillo”.

Sin embargo de lo anteriormente expuesto, Holland anota en la página 15, que es posible obtener el punto de burbuja usando el método de Newton-Raphson.

Ecuacion3

Y, claro, después de todas las peripecias que he narrado, yo también apliqué el método anterior, usando como primera aproximación 400oR, obteniendo, en ¡98 iteraciones!, en la primera versión de este artículo tenía yo una equivocación en la derivada y en la subrutina de cáculo de punto de burbuja, por eso el cambio de texto.

Pto.Burbuja570.497733705646oRL=98

Las concentraciones que usé para la alimentación fueron las siguientes:

Figura4

Figura 3. Concentraciones de alimentación

Los coeficientes polinomiales que mencioné antes fueron los siguientes:

Figura5

Figura 4. Coeficientes polinomiales para el vaso de K de cada hidrocarburo

El programa

Option Base 1

Option Explicit

Dim Arrayx(1 To 10) As Variant

Dim ArrayA(1 To 10, 1 To 10) As Variant

Dim ArrayK(1 To 20) As Variant

Dim ArrayKp(1 To 20) As Variant

Dim i, j, NC, kk, L, Fila As Integer

Dim T As Double

Dim Sum, Sumr, Tv, Tn, MM, MMM, MMMM, Sump As Variant

Dim De_Nuevo As String

Dim HH As Double

 

Sub DESTILACION()

Fila = 36: Sum = 0: Sumr = 0

‘Limpieza

Worksheets(“Hoja1”).Range(“A36:f300”).Clear

Arrayx(1) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(2, 3)

Arrayx(2) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(3, 3)

Arrayx(3) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(4, 3)

Arrayx(4) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(5, 3)

Arrayx(5) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(6, 3)

‘x(6) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(7, 3)

‘x(7) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(8, 3)

NC = 5

ArrayA(1, 1) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(9, 3)

ArrayA(2, 1) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(10, 3)

ArrayA(3, 1) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(11, 3)

ArrayA(4, 1) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(12, 3)

ArrayA(1, 2) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(14, 3)

ArrayA(2, 2) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(15, 3)

ArrayA(3, 2) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(16, 3)

ArrayA(4, 2) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(17, 3)

ArrayA(1, 3) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(22, 3)

ArrayA(2, 3) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(23, 3)

ArrayA(3, 3) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(24, 3)

ArrayA(4, 3) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(25, 3)

ArrayA(1, 4) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(26, 3)

ArrayA(2, 4) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(27, 3)

ArrayA(3, 4) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(28, 3)

ArrayA(4, 4) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(29, 3)

ArrayA(1, 5) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(30, 3)

ArrayA(2, 5) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(31, 3)

ArrayA(3, 5) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(32, 3)

ArrayA(4, 5) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(33, 3)

 

T = Worksheets(“Hoja1”).Cells(13, 3)

T = T + 459.67

For kk = 1 To NC

ArrayK(kk) = 0

Next kk

Call Calculo_de_K(T, ArrayA(), ArrayK(), NC)

Call Imprimir_Resultados(Fila, ArrayK(), kk, NC)

Call Calculo_Funcion_Temperatura_Burbuja_Rocio(ArrayK(), Arrayx(), T, Fila, Sum, Sumr)

Tv = 700

Call Calculo_del_Punto_Burbuja(Tv, Tn, ArrayA(), ArrayK(), ArrayKp(), Fila, Arrayx())

End Sub

Sub Calculo_de_K(T, ArrayA(), ArrayK(), NC)

For kk = 1 To NC

ArrayK(kk) = T * (ArrayA(1, kk) + ArrayA(2, kk) * T + ArrayA(3, kk) * T ^ 2 + ArrayA(4, kk) * T ^ 3) ^ 3

Next kk

 

End Sub

Sub Imprimir_Resultados(Fila, ArrayK(), kk, NC)

For kk = 1 To NC

Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila, 1) = “K(” & kk & “)=” & ArrayK(kk)

Fila = Fila + 1

Next kk

End Sub

Sub Calculo_Funcion_Temperatura_Burbuja_Rocio(ArrayK(), Arrayx(), T, Fila, Sum, Sumr)

Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila, 1) = “T,oR”

Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila, 2) = “Fb(T)”

‘Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila, 3) = “Fr(T)”

Fila = Fila + 1

For T = 100 To 600 Step 10

For kk = 1 To NC

ArrayK(kk) = T * (ArrayA(1, kk) + ArrayA(2, kk) * T + ArrayA(3, kk) * T ^ 2 + ArrayA(4, kk) * T ^ 3) ^ 3

Sum = Sum + ArrayK(kk) * Arrayx(kk)

‘Sumr = Sumr + (1 / ArrayK(kk)) * Arrayx(kk)

Next kk

Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila, 1) = T

Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila, 2) = Sum – 1

‘Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila, 3) = Sumr – 1

Sum = 0: Sumr = 0: Fila = Fila + 1

Next T

End Sub

Sub Calculo_del_Punto_Burbuja(Tv, Tn, ArrayA(), ArrayK(), ArrayKp(), Fila, Arrayx())

Sum = 0: Sump = 0: L = 0

De_Nuevo:

For kk = 1 To NC

ArrayK(kk) = Tv * (ArrayA(1, kk) + ArrayA(2, kk) * Tv + ArrayA(3, kk) * Tv ^ 2 + ArrayA(4, kk) * Tv ^ 3) ^ 3

Sum = Sum + ArrayK(kk) * Arrayx(kk)

Next kk

 

For kk = 1 To NC

MM = (ArrayA(1, kk) + ArrayA(2, kk) * Tv + ArrayA(3, kk) * Tv ^ 2 + ArrayA(4, kk) * Tv ^ 3) * 2

MMM = ArrayA(2, kk) + 2 * ArrayA(3, kk) * Tv + 3 * ArrayA(4, kk) * Tv ^ 2

MMMM = (ArrayA(1, kk) + ArrayA(2, kk) * Tv + ArrayA(3, kk) * Tv ^ 2 + ArrayA(4, kk) * Tv ^ 3) ^ 3

ArrayKp(kk) = 3 * Tv * MM * MMM + MMMM

Sump = Sump + ArrayKp(kk) * Arrayx(kk)

Next kk

 

Tn = Tv – (((Sum – 1) / Sump))

If Abs(Tn – Tv) < 0.01 Then

Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila, 1) = “Pto.Burbuja” & Tn & ” oR” & “L=” & L

Exit Sub

Else

Tv = Tn: Sum = 0: Sump = 0

L = L + 1

End If

If L > 100 Then

 

Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila, 1) = “L=” & L

Exit Sub

Else

GoTo De_Nuevo

End If

 

End Sub

 

Trabajos Citados

Buford D. Smith et al. (1963). Design of Equilibrium Stage Processes. New York, New York, U.S.A.: McGraw-Hill Book Company.

Charles Holland (1963). Multicomponent Distillation. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall, Inc.

George Granger Brown et al. (1960, 7th printing). Unit Operations. (J. W. Sons, Ed.) New York, New York, U.S.A.: John Wiley & Sons.

 

 

Acerca de

Professor of modeling and simulation, and process design at Escuela Politécnica Nacional, in Quito, Ecuador. . In the past I was a P4, P5, and D1 at the Organization for the Prohibition of Chemical Weapons, located in the Kingdom pf the Netherlands

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