ALGUNOS CONCEPTOS ACERCA DEL ESCALADO DE REACTORES TANQUE-AGITADOS

Para escalar la agitación en los reactores tanque-agitados, que constituyen el caballo de batalla de la industria química de transformación, se deben utiliza dos ecuaciones: La ecuación de continuidad de masa, y la ecuación de movimiento.

Como los reactores son cilíndricos estas ecuaciones se deberían escribir el sistema cilíndrico, pero como lo que se busca es números adimensionales que sirvan para el escalado, es más conveniente escribir las ecuaciones en lenguaje vectorial, que ocupa menos espacio, y es independiente de la geometría, siempre y cuando se disponga de los operadores, que es lo que paso a comentar en la sección siguiente.

Los Operadores vectoriales

Son cuatro básicos, pero sólo voy a citar los que vamos a utilizar, que son . Como se sabe estos operadores son, respectivamente nabla, operador de Laplace, y la derivada substancial.

El Operador Nabla

La definición de nabla es la siguiente (Spiegel 1959):

 

Como ya se ha dicho, el operador nabla sirve como una especie de taquigrafía para ahorrar escritura y tamaño de las ecuaciones.

La manera en que se usa nabla es la siguiente cuando, cuando opera de izquierda a derecha sobre una función escalar f(x,y,z), diferenciable en todos los puntos del intervalo de interés es:

ECUACION 2

Una vez que se ha operado sobre la función escalar como queda indicado arriba,  define un campo vectorial. Además, el componente de  en la dirección de un vector unitario b se define como  y se conoce come la derivada direccional de la función f en la dirección b.

La operación de nabla sobre un vector A para obtener el “producto punto”, que es un escalar, se puede escribir de la manera siguiente, y se conoce como la divergencia de A donde

ECUACION_ESPECIAL

También la DivA puede escribirse en forma de ecuación de la siguiente manera.

ECUACION 3

Cuando en la última ecuación (Brodkey 1967) se trata de un sistema cartesiano ortogonal, x1=x, x2=y, y x3=z, en la notación convencional.

El Operador Laplaciano

La definición del operador de Laplace en coordenadas cartesianas ortogonales es la siguiente:

 

ECUACION 4

La Derivada Substancial

La Derivada Substancial (Brodkey 1967) se define como:

ECUACION 5

El producto “punto” la expresión anterior puede desarrollarse de la siguiente forma (Brodkey 1967),

ECUACION 6

La Derivada Substancial es la expresión matemática de lo que “ve” un observador que se mueve con el flujo, y –en ella- el vector A, es su velocidad (Brodkey 1967).

Aplicación de los operadores vectoriales a la Ingeniería Química

La ecuación de continuidad de masa para un fluido newtoniano incompresible de densidad y viscosidad constantes es (R. Byron Bird, Warren Stewart, Edwin Lightfoot 1960),:

ECUACION 7

La ecuación anterior es igual a cero, porque en el movimiento  de un fluido incompresible de densidad y viscosidad constantes no se pierde ni se gana masa.

La ecuación de movimiento puede representarse por medio de la expresión siguiente (R. Byron Bird, Warren Stewart, Edwin Lightfoot 1960):

ECUACION 8

si en la ecuación precedente se hacen las siguientes substituciones de variables:

EcuacionEspecial2

 

los operadores vectoriales de las ecuaciones se pueden escribir, adimensionalmente, de la siguiente manera (R. Byron Bird, Warren Stewart, Edwin Lightfoot 1960):

ECUACION 10ECUACION 9

ECUACION 11

Si se escriben las ecuaciones de conservación de masa y de movimiento en función de las variables adimensionales, se obtienen las siguientes expresiones (R. Byron Bird, Warren Stewart, Edwin Lightfoot 1960):

ECUACION 12

ECUACION 13

Si las ecuaciones anteriores se multiplican, respectivamente, por D/V, y por

ECUACION_ESPECIAL3

se obtienen las expresiones siguientes:

ECUACION14

ECUACION 15

En la segunda de las ecuaciones anteriores es fácil observar los inversos de los números de Reynolds y Froude, que son los parámetros de escalado de tanques agitados.

En otros textos, investigadores de esa época (Robert Edgewood Johnstone, Meredith Wooldridge Thring 1957) se llega a los mismos resultados en base a análisis dimensional.

En otros libros más modernos (Brodkey, Robert S., Hershey, Harry S. 1988) se mencionan otros números adimensionales acerca de los que se intentará presentar algunos ejemplos.

Personalmente, pienso que el libro de Bird, Stewart y Lightfoot no ha podido ser superado, ni lo será por mucho tiempo.

Parámetros de escalado de reactores tanque agitados

De la breve revisión del cálculo vectorial se desprenden las siguientes igualdades que sirven para escalar sistemas de agitación.

Si se igualan los Números de Froude (similitud de Froude) para dos sistemas 1, y 2, se puede escribir la siguiente expresión.

ECUACION 16

Si en la ecuación anterior se reemplazan cada una de las velocidades de la turbina de agitación por sus expresiones equivalentes  se puede escribir la siguiente expresión.

ECUACION17

Que, a su vez, obtiene la expresión siguiente:

ECUACION 18

De la última igualdad se puede escribir la siguiente expresi

ECUACION 19

El Número de Reynolds se usa para expresar la analogía de Reynolds, en forma de la siguiente expresión.

Ecuacion20Bis

Si se combina la última expresión con la penúltima se puede escribir la siguiente expresión:

ECUACION 21

Si se igualan los Números de Reynolds (similitud de Reynolds) (Agüero Soriano 2011) se puede escribir:

ECUACION 22

De (Brodkey, Robert S., Hershey, Harry S. 1988) se puede obtener los siguientes números adimensionales, que son importantes en el escalado de reactores tanque agitados.

De la última publicación mencionada, en el capítulo correspondiente a Aplicaciones de los Fenómenos de Transporte, se puede recoger el criterio fundamental, muy conocido por cierto, de que para escalar es imprescindible que exista similitud geométrica, caracterizada por un factor de escalado y/o una forma similar, y similitud dinámica, que equivale a decir que la ecuación adimensional (nótese el singular) debe ser aplicable a ambos sistemas, irrespectivamente de sus dimensiones y que los números adimensionales (valga la redundancia) que surgen en su adimensionalización son criterios válidos para escalado, de acuerdo al fenómeno que predomine.

Yo no puedo reproducir aquí los dibujos de (Brodkey, Robert S., Hershey, Harry S. 1988) por razones de derechos de autor y de prohibiciones explícitas, pero el factor de escala debe ser constante para la altura de las superficies libres de los dos tanques, para sus diámetros, así como para los diámetros de los agitadores, que son los que se mencionan en las ecuaciones anteriores, del mismo modo que los anchos de deflectores, bafles, distancia entre los baffles y el tanque, etc.

Variables de diseño de los tanques agitados

Entre las variables de diseño que se mencionan (Brodkey, Robert S., Hershey, Harry S. 1988) se mencionan, en forma sistemática, las siguientes variables de diseño: Potencia de Agitación (P), Volumen del Tanque (V), que no se debe confundir con el V de las ecuaciones anteriores que significa velocidad; (P/V) que es potencia de agitación por unidad de volumen; (Tq) que es el torque que actúa sobre las paletas de la turbina de agitación; (Tq/V) torque por unidad de volumen; y (Ut) que es el “tip speed” o velocidad de punta de la turbina.

Números de diseño

Torque

El primero es el torque, que en (Brodkey, Robert S., Hershey, Harry S. 1988) se formula de la forma siguiente:

Ecuacion23Bis

El torque demandado utiliza la velocidad en radianes por unidad de tiempo (aunque el “radian” no es una unidad en el estricto sentido de la palabra), esa es la razón para el grupo “2π” que multiplica a N. El torque es una magnitud muy importante ya que de ella depende que funcione el equipo, o que la caja de desmultiplicación se destruya, y su precio  y –por supuesto- la capacidad de transferir ese torque (Brodkey, Robert S., Hershey, Harry S. 1988), el diámetro del eje, y el peso de la turbina que tiene que ver con la carga permisible que puede colgarse del eje motriz es otro parámetro importantísimo, que se debe verificar en el catálogo.

Como se puede apreciar de la anterior ecuación, el torque es igual a la potencia transferida al eje de la turbina de agitación dividida para la velocidad rotacional de la turbina expresada en rad s-1, aunque el radián no sea una unidad, en el estricto sentido de la palabra.

La magnitud (Brodkey, Robert S., Hershey, Harry S. 1988) Tq/V es también muy importante y es igual a:

Ecuacion24Bis

Si en la expresión anterior se reemplaza la potencia P en función del Número de Potencia, se obtiene la siguiente expresión. donde [P=Watts o Nms-1, N=s-1 y H es la altura del líquido en el tanque, que usualmente es igual al diámetro T del mismo].

Y si se trata de un tanque agitado cuyo plano medio es un cuadrado donde H=T, entonces la expresión para Tq/V en función del Número de Potencia Np puede escribirse de la manera siguiente donde D es el diámetro del agitador, y T es el diámetro del tanque.

Ecuación25Bis

Cuando el torque suministrado puede medirse mediante un amperímetro y un voltímetro y es igual a (Dawes 1947), y en el caso de un motor trifásico se representa mediante la expresión siguiente donde E es el voltaje entre fases, I es la corriente de cada fase (que es igual en cada una, porque los embobinados de campo del motor son iguales) y el cosø es el rendimiento eléctrico del motor.

ECUACION 24

En la penúltima ecuación  se puede notar que, si se mantiene la similitud geométrica (Brodkey, Robert S., Hershey, Harry S. 1988) el valor del cociente entre el diámetro del reactor y el diámetro de la turbina tendrán el mismo valor en el modelo (el reactor más pequeño) y en el prototipo (el reactor de tamaño más grande).

La última ecuación es muy útil para medir la potencia realmente demandada, especialmente cuando la turbina que se usa no es estándar: es simple, fácil de usar y lo único que se requiere es un amperímetro , un voltímetro y el cos∅, que es un dato que viene en la placa de motor, que denota su eficiencia eléctrica.

Relación entre el ancho del baffle o deflector y el diámetro del tanque

La relación debe ser B/T=1/12.

Distancia entre la turbina y el fondo del tanque

La distancia entre la turbina y el fondo del tanque puede variar en el rango que se menciona a continuación, pero la relación debe ser la misma en el modelo y en el prototipo. El rango es (Brodkey, Robert S., Hershey, Harry S. 1988)

Ecuacion27Bis

Tamaño, inclinación y número de aspas de la turbina en el modelo y en el prototipo

En el escalado de la turbina es imprescindible que se mantenga la similitud geométrica en las dimensiones (alto, ángulo de ataque (inclinación), sentido de giro y número de aspas (Brodkey, Robert S., Hershey, Harry S. 1988).

Velocidad de la turbina

La velocidad de la punta de la turbina o simplemente la velocidad de punta se le asigna –en la mayoría de los textos- el símbolo UT. Como para el caso de la velocidad de punta la longitud del arco recorrido por el radio-vector es S=rq, y como q=2pr la expresión para la velocidad de punta es el arco recorrido multiplicado por el radio dividido para el tiempo, que es lo mismo que decir multiplicado por el número de radianes por segundo, y la expresión es la siguiente.

Ecuacion28Bis

 

 

Números adimensionales en agitación

En (Brodkey, Robert S., Hershey, Harry S. 1988) se mencionan los siguientes números adimensionales, y noten ustedes que los unos van construyendo sobre lo que los anteriores han hecho, como debe ser y siempre será en una sociedad que progrese: Número de Mezclado (Nb), Número de Froude (NFR), que ya hemos mencionado; Número de Nusselt (NNu); Número de Potencia (NPo); Número de Prandtl (NPr), Número de bombeo (del agitador) (NP), Número de Reynolds (NRE), del que ya hemos hablado, Número de Schmidt (NSc), Número de Sherwood (NSh) y Número de Weber.

Entre los fabricantes que proveen el Número de Potencia y el Número de bombeo para sus agitadores son, que  yo sepa, http://www.fusionfluid.com/FusionFluidEquipmentLLC/html/impellers_pbturbine.html

Es posible dar click en el link anterior para poder acceder a todos los agitadores, que están ligados al famoso gráfico que pueden encontrar en (Bates, Fondy y Fenic 1960) y en otras publicaciones. En ese gráfico las abscisas muestran el valor del Número de Reynolds de Agitación y las ordenadas muestran el valor de Número de Potencia Np para los seis tipos más comunes de turbina de agitación que ordinariamente se usan.

Ejemplo de Número de Potencia y Número de Bombeo

Supongamos que queremos dimensionar la potencia de un motor trifásico para una turbina de agitación de Fusion, de .6 m de diámetro que va a girar a 117 RPM, en un tanque de diámetro T=1.80m (diámetro del agitador igual a 1/3 del diámetro del tanque), y que asumimos una viscosidad igual a la del agua, que es, de 0.478×10-6 m2s-1, y una densidad de 1000 kgm-3

Si consultamos (Brodkey, Robert S., Hershey, Harry S. 1988) veremos que en Número de Potencia es igual a:

ECUACION 25

Si ingresamos al sitio Web que se proporcionó, encontraremos que para una turbina de paletas inclinadas (Pitch Blade) el Np para Reynolds turbulento es 1.27, para un rango bastante grande y el Número de Bombeo es 0.79.

Vale la pena mencionar que un Número de Potencia que se mantiene constante en la región de agitación turbulenta es muy ventajoso en caso de que la viscosidad del medio agitado se incremente con el tiempo, porque cuando la viscosidad aumenta el NRe se achica y el punto de operación se desplaza hasta el codo de la curva, que es donde el Np comienza a aumentar linealmente.

Por la razón antedicha es aconsejable mantener el proceso en un rango de de Número De Reynolds de 5×103 a 5×105.

Si de la ecuación anterior despejamos P y utilizamos el Np de 1.27, que es el valor provisto por el fabricante, obtenemos lo siguiente, para una velocidad de rotación de la turbina de 117 RPM, y una densidad del fluido agitado de 1,000 kgm-3. Para estos valores la potencia teórica demandada por el fluido agitado será:

EcuacionEspecial4

Si se asume una eficiencia entre el motor de agitación y la turbina (debida mayormente (Wikipedia n.d.) a la carga de la caja reductora de velocidad) de 0.6, obtendremos una potencia real de alrededor de 1.2 Kw.

Para estar seguros que estamos en la zona turbulenta, calculamos el NRe.

EcuacionEspecial5

El Reynolds que se ha obtenido es francamente turbulento, y por tanto el valor del Np es 1.27, como se puede observar del gráfico respectivo.

En el link de Fusion™, el Número de Bombeo Nq y el Número de Potencia Np (Brodkey, Robert S., Hershey, Harry S. 1988) se proporcionan como 0.79, y 1.27, respectivamente.

Es muy importante que se recuerde que la turbina de agitación se debe visualizar como una bomba que desplaza un caudal Q expresado como una tasa de flujo por unidad de tiempo y por unidad de área, que se calcula, en primera aproximación, según la expresión siguiente (Brodkey, Robert S., Hershey, Harry S. 1988)

ECUACION 28

Cuando se dispone del Nq, que para el caso del ejemplo es igual a 0.79, el cálculo del flujo desplazado a través de la turbina se puede realizar a través de la expresión anterior

Ecuacion33Bis

Si se recuerda que la turbina de paletas planas inclinadas de nuestro ejemplo tiene un diámetro igual a 0.6m, Entonces el flujo a través de ella estará dado por el cociente entre el caudal y la superficie del círculo de giro de la turbina, y será:

Ecuacion34Bis

El Número de Weber

El Número de Weber relaciona las fuerzas inerciales (que se producen por la aceleración que actúa sobre las partículas sólidas o fluidas que se dispersen en el fluido, con las fuerzas de superficie, como es la tensión superficial σ (Agüero Soriano 2011).

Por esta razón el Número de Weber es importante en operaciones en las que se trata de dispersar un fluido que forma una interface con otro (Majithia, A.K., Hall,S.,Harper,L.,Bowen, P.J. 2008).

Usualmente este número se denota con el símbolo NWe, y la expresión para calcularlo es (Majithia, A.K., Hall,S.,Harper,L.,Bowen, P.J. 2008), donde ρ es la densidad del fluido que se dispersa, y σ es su tensión superficial.

Ecuacion35Bis

Es interesante, y pertinente –creo yo- escribir la ecuación precedente en forma dimensional, para así notar que el numerador es una fuerza(inercial), y que el denominador es una fuerza (de superficie).

En (Wikipedia n.d.) se presenta una versión, equivalente a la anterior.

En (Erwin 2002), el Número de Weber se define como una expresión, equivalente a la primera, que se usa para calcular el NWe.

Ecuacion37Bis

En unidades, la ecuación anterior es congruente, como se puede apreciar de la expresión siguiente, en donde se considera que  es una velocidad al cuadrado, expresada en . Si esto se toma en cuenta, se puede escribir la ecuación anterior sólo en términos de unidades, de la siguiente forma, teniendo en cuenta que σ se expresa en (N-m)/m2.

ECUACION 34

Esto coincide con la definición de Wikipedia™, donde N se expresa en .

Como ya se ha dicho, el factor  de estas ecuaciones se expresa, cuando se trata de un agitador de turbina de diámetro D, que gira a N RPS, como .

Además, se debe tener en cuenta que el “l” es un “largo característico” que, cuando de agitación en un tanque cilíndrico se trata, es D.

La expresión del Número de Weber indica que a mayor velocidad de agitación y densidad del fluido que se dispersa, mayores serán las fuerzas inerciales de dispersión; y que, para dispersar un fluido en otro, las fuerzas inerciales deben vencer la tensión superficial σ, que tiende a agrupar el fluido que se quiere dispersar.

Por estas razones, la tensión superficial s, que es la cantidad de energía necesaria para aumentar la superficie de un fluido se mide en J/m2, o N-m/m2 (véase el análisis dimensional consignado arriba.

Sólo para visualizar, y recordar, uno de los mejores ejemplos de una sustancia de alta tensión superficial, que todos hemos visto alguna vez, es el del mercurio, líquido que, debido a su alta tensión superficial, no “moja” las superficies de vidrio que toca porque tiende a formar una esfera, y que –por la misma razón-forma un menisco de inversa curvatura al de otros fluidos, que sí “mojan” las superficies con las que entran en contacto, como el agua, por ejemplo.

Ejemplo de Dispersión de Agua en Tolueno-Número de Potencia y Número de bombeo

Se desea dispersar 5kg/s de agua en 200 kg/s de tolueno en un tanque agitado continuo, sabiendo que la , y que .

Para el caso en consideración, se considerará el agua como dispersada si el diámetro de las gotas de agua, que originalmente es 5×10-3m, disminuye a la décima parte de su diámetro original.

Para los fines de implementar el proceso se cuenta con un tanque dotado de una turbina de paletas inclinadas a 45o, de 0.60m de diámetro, un Np=1.27 y un número de 0.79 además de un motor de 1750 RPM, de 1.5 HP.

Se desea conocer el volumen del tanque cilíndrico, y el tiempo medio que la mezcla ha de permanecer en el tanque si la turbina gira a 117 RPM.

  1. Cálculo de la energía necesaria para cambiar la superficie de las gotas de
    1. a.Superficie original de cada gota de agua

Ecuacion39Bis

                 1.b Masa de cada gota de agua original

ECUACION41                 1.c Número original de gotas de agua por segundo

Ecuacion 41

                1.e Superficie dispersada de cada gota de agua

Ecuacion42Bis

               1.f Masa de cada gota de agua dispersada

Ecuacion43Bis

              1.g Número de gotas de agua que se dispersan por segundo

Ecuacion44Bis

            1.h Área creada en la operación de dispersión

Ecuacion45Bis

Ecuacion46.bis 1.g Potencia necesaria para la dispersión (aquí se debería utilizar la tensión    superficial  de agua en tolueno, dato del que no dispongo)

Ecuacion47Bis

       1.j Potencia de agitación para la dispersión

Para calcular la potencia de agitación se utiliza el Número de Potencia

Ecuacion48Bis

Si en la ecuación anterior se despeja la potencia y se recuerda que el Número de Potencia del fabricante para una turbina de seis paletas inclinadas es 1.27, se puede escribir la ecuación de cálculo de la manera siguiente:

Ecuacion49Bis

El resultado anterior indica que el eje sobre el que está montada la turbina deberá recibir una potencia de 0.732 kW. Además, como necesariamente se deberá utilizar una caja de reducción se habrá que calcular el torque que ésta requiera y el valor total deberá compararse con el torque máximo especificado por el fabricante para el motor que éste recomiende.

El grupo motor-reductor

A partir de este punto se debe necesariamente utilizar las especificaciones del catálogo del fabricante de que se trate.

  1. Cálculo del factor de desmultiplicación i, donde, en la fórmula de Motovario™, n1 son las revoluciones producidas por el motor, y n2 son las revoluciones que se desea que la caja de reducción entregue.

Ecuacion50Bis

2.  Cálculo del torque requerido

Para fines de calcular el torque calculado que debe transmitirse al eje de la turbina se utiliza la siguiente expresión (Brodkey, Robert S., Hershey, Harry S. 1988)

Ecuacion51Bis

La expresión que Motovario™ recomienda es la siguiente, donde Mr2 es el torque calculado, Mc2 es el torque de catálogo, y fs. es el factor de servicio que depende de éste y del tipo de caja reductora (por el momento utilizaremos fs=1.7, porque 1500<n1<3000 RPM, y porque se trata de una operación liviana, sin embargo, de ser continua, de 24 horas al día a 7 días por semana (página 6).

Siempre de acuerdo al catálogo, el torque calculado debe multiplicarse por el factor de servicio, o fs., que en este caso es igual a 1.7.

Ecuacion52Bis

La “carga colgada” u “overhung load” que actúa sobre el eje horizontal de la caja de reducción es despreciable en este caso, porque ésta puede minimizarse usando un sistema de transmisión de torque, que consiste de un eje de alrededor de 0.1 m de largo acoplado al eje de la turbina mediante un matrimonio, lo que minimiza la “carga colgada”, y se recomienda altamente porque el eje de una pulgada de diámetro, debe pesar alrededor de 400 g, a una densidad de 8,000 kg/m3.

En el video que se muestra a continuación se puede apreciar, una caja de reducción Motovario, el montaje y el acople para la sola transmisión de torque al eje acoplado mediante un matrimonio, que es el que en realidad soporta el peso la turbina de agitación, y el peso propio, que en su conjunto es de alrededor de 10 kg mientras que el peso permisible de “carga colgada” es de alrededor de 1.3 kg.

 

El catálogo de la caja de reducción del video se puede encontrar en el sitio (http://www.motovario.com/spa/download/reductores-de-tornillo-sin-fin–serie-vsf/reductores-de-tornillo-sin-fin-combinados-y-con-pre-reductor technical_catalog_vsf_nema_2016_rev.0_web.pdf). En el catálogo es posible escoger un “factor de servicio” (f. s 1.7 (página 6), lo que indica que se debe obtener una combinación de motor-caja reductora que produzca un torque que exceda a 899 in-lb (528 in-lb*1.7).

Para la aplicación propuesta se podría usar, de acuerdo a la página 39 del catálogo, un reductor NMRV-PO63, que produce un torque máximo de 1236 lb-in a 117 RPM de salida, con el factor de servicio de 1.7 ya mencionado, lo que implicaría disponer de un torque máximo por turbina de 1236 lb-in (140N-m), que es aceptable por exceder, con largueza, el torque calculado para el proceso, que es 899 lb-in.

La reducción debería acoplarse a un motor de 1.5 HP 80D4/90S4, o a un motor NEMA 56C/143/145TC. Si a alguno de mis amables lectores desea interiorizarse acerca de las especificaciones NEMA, le agradecería mirar el siguiente sitio: http://www.brookcromptonna.com/Product%20Catalogs/SINGLE%20PHASE.pdf .

El tiempo de mezcla

Para estimar el tiempo de proceso se puede trabajar con el tiempo medio de residencia τ, que tiene que ver con el flujo al tanque mezclador y con su volumen.

Como en total el fluido debe recibir una potencia de 3.9 kW, entonces se deberían utilizar 3.9 Kw/.732 Kw/paso= 6 pasos a través de una turbina de agitación impulsada por un motor de 1.5 HP, por la razón del “factor de servicio”.

Esto se puede hacer mediante una válvula de tres vías, parecida (o la misma) a la que se usa en la industria lechera, en el proceso de pasteurización, que recicla la leche a través del intercambiador de placas, si a causa de algún transitorio no ha transferido la potencia de enfriamiento especificada en el diseño.

Estimación del tiempo de mezcla utilizando el concepto de tiempo medio de residencia

Si el Número de Bombeo para una turbina de seis placas planas inclinadas es 0.79, el caudal bombeado por una turbina será igual a

Si el tanque es un tanque de Rushton entonces el diámetro T=3D=1.80m. Si la altura del líquido es igual a T, el volumen del tanque será

Ecuacion53Bis

Y el tiempo necesario para transferir la potencia necesaria para vencer la tensión superficial del agua se estima calculando el tiempo medio de residencia:

Ecuacion54Bis

El argumento de la potencia del motor de agitación

Se debe entender que los fabricantes son muy cautos, y eso es comprensible. Esto radica en que ellos no conocen con certidumbre las características de la aplicación a la que se va a someter su caja de reducción. Eso hace que sea necesario algún grado de sobrediseño lo que, en el caso de Motovario™, se realiza a través del “factor de servicio” (fs.) que es un valor que debe fijar el diseñador, de acuerdo a las instrucciones que constan en el catálogo. En este caso (véase el catálogo ya mencionado) se escogió un fs. de 1.7.

Ecuacion55Bis

Como se puede apreciar, la potencia de agitación excede la potencia sobrediseñanda a través del “factor de servicio” escogido que obtuvo 1.5 HP, pero lamentablemente no existen motores de 1.7HP.

Ejemplo de escalado de un tanque agitado prototipo

Se dispone de un reactor prototipo de T1=0.3m y D1=0.10m, configurado como un Reactor de Rushton, que se usa para calentar glicerina desde temperatura ambiente hasta 50oC, que se quiere escalar a un reactor geométrica y dinámicamente similar de usando un factor de escalado de 1.5.

En este caso se debe utilizar la Similitud de Reynods, y el factor de escalado n de Corpstein y Dickey (Brodkey, Robert S., Hershey, Harry S. 1988), pero no se conoce cuál ha de ser su valor.

La expresión que los autores mencionados acuñaron, fue para flujo turbulento (Brodkey, Robert S., Hershey, Harry S. 1988) pero yo he adaptado (esto habría que comprobar experimentalmente) mediante una correlación de regresión para la parte de flujo laminar), que muestro a continuación.

Salvo mejores y más ilustrados criterios la correlación mencionada parecería una extensión del criterio de similitud de Reynolds, y el problema consiste en determinar cuál será el valor de n que produzca Números de iguales tanto en el prototipo como en el modelo, y potencias de agitación por unidad de volumen iguales.

Para los fines consiguientes creé un programa muy sencillo cuyas bases transcribo a continuación.

La relación aludida puede escribirse en forma funcional de la siguiente manera:

Ecuacion56Bis

En la anterior ecuación  es el exponente del cociente entre N1 y N2, de de Corpstein y Dickey, y fs es el factor de escalado. Si se deriva la ecuación anterior, se obtiene que

Ecuacion57Bis

Esto puede comprenderse porque tanto N1, N2, así como el factor de escalado con parámetros del problema (valores que no cambian).

Si se aplica el algoritmo de Newton-Raphson, que se muestra a continuación, y que ordinariamente converge rápidamente, y en este caso lo hace en una sola iteración, lo que se puede observar de área de la hoja Excel™ respectiva.

Ecuacion58Bis

El algoritmo puede implementarse muy simplemente en una hoja Excel™, que transcribo a continuación, tal como yo lo hice, lo que muestro a continuación.

Grafico1Excel

En la hoja Excel™ los subíndices “1” hacen referencia al prototipo, y los sub índices “2” hacen referencia al modelo. Cuando el analista varía las revoluciones del prototipo (“1”) o del modelo (“2”) el índice varía o el facto de escalado, el índice varía. El programa no tiene código VBA, porque no lo amerita.

Lo importante es que se pueden cambiar los números de revoluciones, o el factor de escalado, y uno puede obtener el coeficiente n que permita igualar la potencia por unidad de volumen en ambas escalas, así como el torque por unidad de volumen.

Repito: esto es sólo matemáticas, se ha probado para régimen turbulento y habría que probar si, en la práctica, funciona para régimen laminar.

A continuación, se muestra la correlación para el número de potencia en función del número de Reynolds de agitación.

Grafico2NpvsNRe

Gráfico Np vs. NRe de agitación para régimen laminar

Lo que el analista siempre desea es que tanto la potencia como el torque por unidad de volumen sean iguales tanto en el prototipo como en el modelo. En mi criterio esto no es tan fácil de lograr si sólo se usa la analogía de Reynolds, y tal vez esa fue la razón por la que Corpstein y Dickey (Brodkey, Robert S., Hershey, Harry S. 1988) se idearon un modelo alternativo en el que, en general, el coeficiente es variable, y diferente al que la similitud de Reynolds obtiene.

Ejemplo de la estimación de un disco aspersor utilizando la similitud de Reynolds

Si tiene un cilindro aspersor (Brown s.f.) en un equipo de secado por aspersión cuyo cilindro tiene 179 boquillas de sección cuadrada de 0.0048m de lado. La relación entre el espaciamiento entre las boquillas es y1/l1 =.1, con una capacidad de aspersión de 0.5 m3/min.

Para los fines de duplicar la capacidad de la planta se desea conocer cuáles serían los parámetros físicos y de funcionamiento de un nuevo cilindro que mantenga la similitud dinámica de Reynolds, de Froude, y de Weber si la dinámica de la impulsión del fluido (leche) es similar.

El primer asunto que se debe notar es que por cada x boquillas existen (x-1) espacios de separación.

Por lo anteriormente dicho se pueden escribir las ecuaciones siguientes:

Ecuacion59Bis

Si a la ecuación anterior la dividimos por l2 obtendremos la forma cuadrática siguiente:

Ecuacion60Bis

la ecuación anterior puede agruparse de la siguiente manera:

Ecuacion62Bis

Esta ecuació

Ecuacion63Bis

Lo anterior significa que si el espaciamiento entre toberas y la dimensión lateral de las mismas están definidas, el número de toberas queda, así mismo definido.

Además de lo dicho se pueden calcular las analogías de Reynolds, Froude y Weber, como se muestra en la hoja Excel™ que se muestra a continuación.

Grafico3Excel

Trabajos Citados

Agüero Soriano, José. 2011. Último acceso: 20 de January de 2017. http://www.uco/termodinámica/ppt/pdf/fluidos4.pdf.

Bates, Fondy y Fenic. 1960. Mixing Theory and Practice. Vol. 1. New York: Academic Press.

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AGRADECIMIENTO

Agradezco muy especialmente al Sr. Alberto Castro por su inestimable ayuda en la consytucción del acople que se muestra en el video adjunto, así como por sus ideas acerca de la construcción misma.

 

 

 

 

Acerca de

Professor of modeling and simulation, and process design at Escuela Politécnica Nacional, in Quito, Ecuador. . In the past I was a P4, P5, and D1 at the Organization for the Prohibition of Chemical Weapons, located in the Kingdom pf the Netherlands

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