ADIMENSIONALIZACION DE LAS ECUACIONES DE CAPA LÍMITE

La adimensionalización de las ecuaciones de la Capa Límite es importante porque haciéndolo es posible visualizar las similitudes que se dan entre ellas, y formular funciones que son muy importantes, por dos razones: (1) Permiten resolver ciertos problemas sin tener que resolverlas, y (2) porque permiten visualizar, realizando análisis simples de ordenes de magnitud, cuáles términos deben permanecer, y cuáles deben desecharse para el tipo de análisis que se esté realizando.

Si las ecuaciones se toman a estado estacionario y propiedades físicas constantes pueden escribirse de la siguiente manera (Incropera, F. P, y David P.De Witt 1990):

primera-ecuacion

segund-ecuacion

Si se toma en cuenta que en la mayoría de los casos el orden de magnitud de la disipación viscosa es muy menor al de los demás términos de la primera ecuación, ésta puede escribirse sin ese término quedando con sólo tres términos, pudiéndose escribir de la siguiente manera.

tercera-ecuacion

Como puede notarse, al desechar el termino de la disipación viscosa de la primera ecuación es poco menos que imposible dejar de notar la similitud entre la ecuación de transporte de masa y la ecuación de transporte de energía, y los roles que juegan la difusión térmica α, y la difusión molecular DAB en las respectivas transferencias, pero aún así, no se debe olvidar que cada ecuación pertenece a un sistema coordenado diferente.

Variables Adimensionales

Sin embargo de lo que queda dicho, es posible normalizar las ecuaciones introduciendo en ellas las siguientes variables adimensionales

cuarta-ecuacion

Ecuaciones Adimensionalizadas

Introduciendo las variables en la ecuación de velocidades se puede obtener la ecuación normalizada de Capa Límite, que es la siguiente:

quinta-ecuacion

Si se multiplica y divide el grupo dimensional por la viscosidad ν la ecuación anterior puede escribirse en función de los números de Prandtl y Reynolds, de la siguiente manera.

 

En la ecuación anterior, completamente adimensionalizada es evidente que para la capa térmica los parámetros de similitud son los que allí aparecen, que son los que entran en juego cuando de trata de dos capas límite en dos sistemas de diferente escala.

De igual forma a lo que queda dicho es posible adimensionalizar la Ecuación de Continuidad, que se muestra a continuación.

sseptima-ecuacion

 

También puede adimensionalizarse la ecuación de momentum en la dirección de x , lo que obtiene la ecuación siguiente.

septima-ecuacion

De la misma forma es posible adimensionalizar la ecuación de masa, lo que obtiene la siguiente expresión

octava-ecuacion

Algunos Ejemplos

  1. (Incropera, F. P, y David P.De Witt 1990) Problema 6.42, p. 377.

Se considera un experimento en el que un gas X se hace circular en flujo cruzado respecto de un objeto que tiene un largo característico de L=0.1m. Cuando el objeto está seco para un ReL de 1 x104 el coeficiente medio de transferencia de calor es igual a 25 W/m2oC.

El mismo objeto se impregna luego con un líquido Y y se somete a las mismas condiciones del primer experimento. Se dan las siguientes propiedades termofísicas y se pregunta cuál es el valor del coeficiente medio de transferencia de masa.

tabla

En (Incropera, F. P, y David P.De Witt 1990), página 355, se puede leer lo siguiente: “Las expresiones de transferencia de calor y las de transferencia de masa son intercambiables”. “Si, por ejemplo, se ha llevado a cabo un experimento de transferencia de calor para determinar la forma de la función Nu/Pr=f4(x*,ReL) para una superficie de particular geometría, los resultados pueden usarse para transferencia de calor por convección, simplemente reemplazando Nu por Sh, y Pr por Sc, o [se puede] utilizar la ecuación h/hm=k/(DABLen), donde un valor razonable para n es 1/3”.

Haciéndonos eco entonces, de lo dicho por los autores de este magnífico texto, procederemos a utilizar la ecuación recomendada teniendo presente que Le es el Número de Lewis, igual a α/DAB. Quedándonos la siguiente expresión hm=h*Dab2/3 α1/3/k. Sabiendo que Sc=ν/DAB, podemos estimar DAB a partir de Sc para la mezcla de gas y vapor, utilizando un valor promedio de v para la mezcla, que obtiene un valor de 1.26 x 10-5 m2/s, obteniéndose un valor de hm=.014m/s, salvo error u omisión.

  1. (Incropera, F. P, y David P.De Witt 1990) Problema 6.22, p.373

En una determinación experimental se ha podido comprobar que para una corriente de aire a 35oC y a una velocidad de 100 m/s la transferencia de calor de un álabe de una turbina que se mantiene a una temperatura de 300oC es igual a 1500 W. Sobre esta base se desea determinar el calor transferido por un álabe de largo característico 0.3m cuya temperatura superficial se mantenga a 400oC un flujo de aire semejante al anterior y a la misma temperatura que el anterior.

En este caso tanto el ReL como el Pr tienen el mismo valor, lo que indica que no deben intervenir en el análisis, y que (véase la ecuación (7.23) (Incropera, F. P, y David P.De Witt 1990), página 393, los valores de Nu=0.332Rex0.5Pr0.33 son iguales para ambos casos.

Esto indica que NuL=h1L1=h2L2, porque ν es ele mismo. De esta igualdad se puede derivar la ecuación siguiente h2=(h1L1)/L2. También, asumiendo que como los álabes son geométricamente semejantes existirá un factor de proporcionalidad común entre sus largos característicos que podemos llamar χ, lo que nos permite afirmar que la superficie del primer álabe será igual a χL2 lo que permite escribir la siguiente expresión para h1.

Novena Ecuacion.png

Para obtener el flujo calórico liberado por el segundo cuerpo debemos multiplicar el valor de h2 por el valor de la segunda superficie, y el valor de este producto por el valor de ΔT, de la manera que se ilustra a continuación.

decima-ecuacion

  1. (Incropera, F. P, y David P.De Witt 1990), Problema 6.21, p. 373

Un objeto de forma irregular tiene un largo característico L=1m y se mantiene a una temperatura uniforme Ts=400oK. Cuando se lo coloca en aire atmosférico a T=300oK, que se desplaza a 100 m/s el flujo promedio desde la superficie del objeto al aire es de 20,000 W/m2.

Si un segundo objeto de la misma forma, pero con un largo característico de L=5m se coloca en aire atmosférico de T=200oK, que se desplaza a 20 m/s, se desea conoce el valor del coeficiente medio de transferencia de calor.

En este caso los números de Reynolds no son iguales, y éstos son proporcionales a los respectivos números de Nusselt, y esto permite escribir la igualdad siguiente por virtud de la función universal Nu=f’4(x*,Re), de la siguiente manera:

la-que-falta

Recordando la Ley de Enfriamiento de Fourier, es muy fácil estimar el valor de h1, de la siguiente manera:

undecima-ecuacion

De esta ecuación es fácil estimar el valor del coeficiente medio de transferencia de calor, que es 200 w/m2 oK. Con este valor es posible determinar el valor de Nu1 como 6.7 x 103. Es posible también estimar el valor de ReL2, y el de ReL1, y puede estimarse el valor de Nu2, y de él estimar el valor de h2 como 31.2 W/m2oC.

Comentario Final

Las ecuaciones de Capa Límite son importantísimas porque es a través de esta capa que toda transferencia, sea ésta de momentum, de masa, o de energía, se realiza.

Es prudente y necesario que este tópico se enfatice suficientemente en los programas de enseñanza para mejorar la formación de los ingenieros que egresan, porque de ellos depende en gran proporción el Cambio de la Matriz Productiva.

Trabajos Citados

Incropera, F. P, y David P.De Witt. Fundamentals of Heaat And Mass Transfer. 3d. John Wilwy & Sons, 1990.

Youtube. Deriving the Dimenssioonless Equation of Motion. https://www.youtubw.com/watch?v= cnLH2uIgQRk (accessed 24 de December de 2016).

 

Acerca de

Professor of modeling and simulation, and process design at Escuela Politécnica Nacional, in Quito, Ecuador. . In the past I was a P4, P5, and D1 at the Organization for the Prohibition of Chemical Weapons, located in the Kingdom pf the Netherlands

Publicado en Sin categoría

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

Enter your email address to follow this blog and receive notifications of new posts by email.

Únete a otros 1.771 seguidores

Categorías
Artículos y comentarios sobre modelado y simulación de plantas, y equipos de la industria química, con ejemplos
PREGUNTAS O INQUIETUDES
PUEDEN ENVIAR SUS PREGUNTAS/INQUIETUDES RESPECTO DE ARTÍCULOS DEL BLOG, O TEMAS AFINES A gasteaux@hotmail.com ASUNTO: BLOG DE INGENIERÍA QUÍMICA
A %d blogueros les gusta esto: