Objetivo del artículo

El objetivo de este artículo es mostrar cómo se debe calcular la composición de un flash adiabático, y exponer el papel que juegan el punto de burbuja y el punto de rocío en el cálculo del Flash.

El artículo está inspirado en unas hojas del libro del Profesor Skogestad, de la Politécnica de Noruega a juzgar por el sitio web (http://folk.ntnu.no/skoge/bok/mer/flash_english_edition_2009), que está escrito en un lenguaje sencillo y muy entendible.

Restricciones al modelo matemático

Se ha tratado a los componentes de la mezcla mediante la Ley de Raoult; se ha estimado sus presiones de vapor mediante el modelo de Antoine, .

Donde

Mezcla que se alimenta al tambor Flash

A continuación se indica la mezcla que se utilizó, así como los respectivos coeficientes de Antoine, que se encuentran en la fuente citada.

Figura 1. Datos del Problema

Para estos datos se escribió un pequeño programa, que se transcribe más adelante, que maneja tres subrutinas, quq calculan el punto de burbuja, el punto de rocío , y la composición del Flash.

Resultados

Los resultados del programa se muestran a continuación.

Figura 2. Resultados del programa

Cálculo del punto de burbuja

En este caso se calculó el punto de burbuja a una presión dada, para lo que se trabajó con la ecuación siguiente (Skogestad);

La solución del problema se reduce a encontrar la temperatura que satisfaga la ecuación, lo que se realiza mediante un For-Next  y una condición de convergencia. También se muestra en el programa, y en la Figura 1, la composición de la primera burbuja que se forma.

Cálculo del punto de rocío

Para este propósito se considera que la mezcla de alimentación está constituida de vapor, y se busca la temperatura a la que se condensa la primera gota de líquido, lo que significa que en la composición de la mezcla que está expresada en fracciones molares Z_i, éstas deben expresarse como y_i,

Lo anterior significa que, para fines de cálculo se utiliza la expresión (Skogestad) siguiente:

El cálculo, dada la presión, implica encontrar una temperatura que satisfaga la ecuación anterior de acuerdo a un criterio de convergencia que se muestra en el programa. En el programa también se muestran las fracciones molares de la primera gota que se condensa.

Cálculo del Flash

Para los fines consiguientes se utilizó la ecuación siguiente con un criterio de convergencia adecuado que se puede observar en el programa, y que obtiene el V/F. Los cálculos de la composición pueden observarse en el programa.

El programa

Option Base 1

Option Explicit

Dim ArrayZ(1 To 5), ArrayA(1 To 5), ArrayB(1 To 5), ArrayC(1 To 5), ArrayY(1 To 5), Arrayp(1 To 5), p As Variant

Dim ArrayK(1 To 5), ArrayX(1 To 5) As Variant

Dim Summx As Variant

Dim kk, Nc, Fila, N, PP As Integer

Dim SumFPB, SumFPPB, T, Tn, Tv, M, MM, MMM, MMMM, Sump, j, Psiv, Psin, FsumFPsi, F2Psi, Sumx, Psi, Sumy, SumPsi, SumFPsi, SumFLV, SumPFLV As Variant

Sub destilacion_flash()

ArrayZ(1) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(2, 3)

ArrayZ(2) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(3, 3)

ArrayZ(3) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(4, 3)

ArrayZ(4) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(5, 3)

ArrayA(1) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(6, 3)

ArrayA(2) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(7, 3)

ArrayA(3) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(8, 3)

ArrayA(4) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(9, 3)

ArrayB(1) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(10, 3)

ArrayB(2) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(11, 3)

ArrayB(3) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(12, 3)

ArrayB(4) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(13, 3)

ArrayC(1) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(14, 3)

ArrayC(2) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(15, 3)

ArrayC(3) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(16, 3)

ArrayC(4) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(17, 3)

Log (2) / Log(10)

p = Worksheets(“Hoja1”).Cells(18, 3)

Nc = Worksheets(“Hoja1”).Cells(19, 3)

T = Worksheets(“Hoja1”).Cells(20, 3)

Psiv = Worksheets(“Hoja1”).Cells(21, 3)

T = T + 273.2

Tv = T

N = 0: Sump = 0

‘Limpieza

Worksheets(“Hoja1”).Range(“A25:g33000”).Clear

Fila = 25

Call Punto_de_Burbuja(p, ArrayA(), ArrayC(), ArrayZ(), ArrayB(), Tv, Tn, Fila)

Call Dew_Point(31, ArrayA(), ArrayB(), ArrayC(), ArrayZ(), ArrayY(), 5)

Call Tanteo(ArrayZ(), ArrayK(), ArrayA(), ArrayB(), ArrayC(), ArrayX(), 4, 375, 37)

End Sub

Sub Punto_de_Burbuja(p, ArrayA(), ArrayC(), ArrayZ(), ArrayB(), Tv, Tn, Fila)

SumFPPB = 0

For T = 354 To 355 Step 0.1

SumFPB = 0:

For kk = 1 To Nc

MM = ArrayZ(kk) * (10 ^ (ArrayA(kk) – (ArrayB(kk) / (T + ArrayC(kk)))))

SumFPB = SumFPB + MM

Next kk

If Abs(SumFPB – p) <= 0.05 Then

N = N + 1

Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila, 1) = “El Punto de Burbuja es  ” & T & ” oK” & ” ó ” & “T= ” & (T – 273.2) & ” oC ”

Exit For

End If

Next T

Sump = 0

For kk = 1 To Nc

Arrayp(kk) = ArrayZ(kk) * (10 ^ (ArrayA(kk) – (ArrayB(kk) / (T + ArrayC(kk)))))

Worksheets(“Hoja1″).Cells(Fila + kk, 1) = ” y(” & kk & “)= “: Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila + kk, 2) = Arrayp(kk) / p

Sump = Sump + (Arrayp(kk) / p)

‘ArrayY(kk) = Arrayp(kk) / p

Next kk

Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila + kk, 2) = Sump

Fila = Fila + 6

Exit Sub

Fila = Fila + 1

End Sub

Sub Tanteo(ArrayZ(), ArrayK(), ArrayA(), ArrayB(), ArrayC(), ArraX(), p, T, Fila)

Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila, 1) = “Flash:”

For Psi = 0.02 To 1 Step 0.02

Sumx = 0: Sumy = 0

For kk = 1 To Nc

ArrayK(kk) = (10 ^ (ArrayA(kk) – ((ArrayB(kk) / (T + ArrayC(kk)))))) / p

ArrayX(kk) = ArrayZ(kk) / (1 + Psi * (ArrayK(kk) – 1))

ArrayY(kk) = ArrayX(kk) * ArrayK(kk)

Sumy = Sumy + ArrayY(kk)

Sumx = Sumx + ArrayX(kk)

Next kk

If Abs(Sumx – 1) < 0.001 Then Exit For

Next Psi

Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila + 1, 1) = “V/F=” & Psi: Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila + 1, 2) = “T= ” & T & ” oK o ” & T – 273.2 & “oC”

Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila + 1, 3) = “p=” & p

For kk = 1 To Nc

Worksheets(“Hoja1”).Range(“A43:B43”).HorizontalAlignment = xlLeft

Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila + 1 + kk, 1) = “x(” & kk & “)= ” & ArrayX(kk): Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila + 1 + kk, 2) = “y(” & kk & “)= ” & ArrayY(kk)

Next kk

Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila + 1 + kk, 1) = Sumx: Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila + 1 + kk, 2) = Sumy

End Sub

Sub Dew_Point(Fila, ArrayA(), ArrayB(), ArrayC(), ArrayZ(), Arrayp(), p)

For T = 354.3 To 410

Sump = 0: Summx = 0

For kk = 1 To Nc

Sump = Sump + ArrayZ(kk) / 10 ^ (ArrayA(kk) – (ArrayB(kk) / (T + ArrayC(kk))))

Next kk

If Abs(Sump – (1 / p)) < 0.005 Then

Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila, 1) = “El Punto de Rocío es T= ” & T & “oK” & ” ó ” & T – 273.2 & “oC”

Exit For

End If

Next T

For kk = 1 To Nc

Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila + kk, 2) = “x(” & kk & “)=” & (ArrayZ(kk) * p) / 10 ^ (ArrayA(kk) – (ArrayB(kk) / (T + ArrayC(kk))))

Summx = Summx + (ArrayZ(kk) * p) / 10 ^ (ArrayA(kk) – (ArrayB(kk) / (T + ArrayC(kk))))

Next kk

Worksheets(“Hoja1”).Range(“b36”).HorizontalAlignment = xlLeft

Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila + kk, 2) = Summx

End Sub

Un poco de filosofía

Cuando uno adquiere el compromiso de escribir un blog, también adquiere el de mantenerlo, y a veces éste último es el más difícil de cumplir. Por las estadísticas de visitas al aitio Web, el tema de diseño de plantas es lo que más gusta, pero es el tema más difícil de abordar porque toma un tiempo muy grande.

Con respecto al tema del diseño de plantas, el amable lector Ingeniero Químico debe reconocer que para diseñar una planta (en realidad, un instalación industrial constituida de varias plantas) hay que primero saber diseñar los equipos, y que para diseñarlos hay que tener muy claros los conceptos de los fenómenos de transferencia, y de la termodinámica.

Por eso se me ocurrió el tema que queda señalado, para lo que hube de ponerme a mirar los conceptos que les menciono con mucha claridad, que en mi formación (del siglo pasado), no los recibí ni en pregrado, ni en postgrado.

El tema y su tratamiento

La primera cosa que me ocurrió fue que había que elegir un problema. Y para eso busqué primero un algoritmo, en el libro Smith, que usé en mi post grado, pero la verdad es que me desilusioné, porque no es un libro algorítmico, porque es de la época en que el IBM 1130, que tenía menos memoria que mi iPhone.

Entonces me acoré de un libro que, en su tiempo me pareció complicado, el famoso Multicomponent Distillation, de (Holland), que sí es algorítmico, y por lo tanto hecho para aplicar los métodos que allí se exponen en la computadora, aunque coincidentemente hayan sido publicados, los dos, en 1962.

Leyendo a Holland me enteré que él se había basado en el famoso libro de Brown, para tratar el tema, y entonces me dije que quizá podría ser de interés para mis lectores, y por eso lo abordé.

El concepto

Para Holland –y para todos, por lo menos hasta que nos damos cuenta (y hablo por mi), la destilación flash es una destilación multicomponente de una sola etapa. ¿Verdad de Perogrullo?: Si y no, porque una vez que se lee la afirmación de Holland, es obvia, y antes no lo es.

¿Genialidad de Holland de presentar el tema de los multicomponentes en forma algorítmica?, o sabía que venía el IBM 360, que haría aplicable todo lo que él propone en su libro? Nunca lo sabremos. La verdad es que en mi postgrado trabajábamos esos problemas con unos calculadores carísimos a tubos de vacío, de cuatro operaciones.

Más conceptos

Uno debe aproximarse A las mezclas multicomponentes en la dirección que va desde el líquido hacia el vapor si de una expansión flash se trata.

Si así se procede entonces lo que primero se encuentra es el punto de burbuja, que es la temperatura a la que se forma la primera burbuja (realmente es el comienzo de la ebullición). Pero como se trata de una mezcla no se empieza a evaporar hasta que no se llega al punto de rocío, que es la temperatura a la que se comienza a formar vapor. Entre estas dos temperaturas hay una zona de transición.

El punto de burbuja

Aquí yo voy a utilizar los subíndices que usé en mi programa, para evitar confusiones.

La primera ecuación es una verdad termodinámica más grande que una casa, que lo único que dice es que la suma de las fracciones molares en fase líquida multiplicada por el coeficiente de reparto K(zz), que es igual a y(kk)/x(kk).

En el caso que nos ocupa, y habiendo sido Holland profesor del Departamento de Ingeniería Química del Agricultural and Mechanical College of Texas, el ejemplo, que él tomó de (Brown) corresponde a una mezcla de hidrocarburos n-C₂, n-C₃, i-C₃, n-C₄, i-C₄, n-C₅, i-C₅, y n-C₆.

En esos tiempos se trabajaba en psia, y las tablas de Holland, que él toma del Natural Gasoline Asssociation of América, se presentan en forma de expansiones polinomiales de K(zz)=f(T), a 50 psia, donde la temperatura está en grados Rankine.

En este punto me di cuenta que las tablas de Holland que yo estaba mirando no abarcaban los compuestos iso y entonces procedí a modificar la mezcla sumando las fracciones molares de los hidrocarburos normales  a las de los iso y tomando esa suma como si se tratase de sólo de hidrocarburos normales.

Después me di cuenta que algunas combinaciones de coeficientes estaban bien, porque obtenían los valores de Brown y otras no, pero ya estaba metido en el baile y debí hacerles algunas “correcciones” (educated guesses), hasta que obtuve números de K(kk) que hacían lógica, ya que mientras más pesado es el hidrocarburo menor es su volatilidad, y menor es su K(kk).

De todo esto resultó que de siete hidrocarburos que aparecen en el problema de Brown yo me reduje a cinco, como les indico a continuación.

Figura 1. Valores de K para la estimación de Punto de burbuja de la alimentación

La condición para poder calcular el punto de burbuja, que se convierte en ecuación es la siguiente.

El problema se reduce, entonces a encontrar la temperatura que satisfaga la ecuación anterior, que –escrita como función- queda como se muestra a continuación, y se conoce como la curva de temperatura de punto de burbuja de la mezcla de alimentación al tambor flash.

Esto significa, que la función puede graficarse (de hecho Hollan lo muestra en su página 16, Cáp.2, donde manifiesta que en vez del método numérico de Newton-Raphson se debe usar el método de Regula Falsi, que funciona con dos aproximaciones.

El gráfico obtenido fue el siguiente.

Figura 2. Trazo de la Función de Punto de Burbuja

Lo interesante de todo esto, por lo menos para mí, es que la discusión acerca de qué método numérico usar para determinar el Punto de Burbuja de la mezcla no es importante porque cualquiera puede leer el  gráfico anterior, y saber ipso-facto, que el punto de burbuja es 570^oR “y piquillo”.

Sin embargo de lo anteriormente expuesto, Holland anota en la página 15, que es posible obtener el punto de burbuja usando el método de Newton-Raphson.

Y, claro, después de todas las peripecias que he narrado, yo también apliqué el método anterior, usando como primera aproximación 400^oR, obteniendo, en ¡98 iteraciones!, en la primera versión de este artículo tenía yo una equivocación en la derivada y en la subrutina de cáculo de punto de burbuja, por eso el cambio de texto.

Pto.Burbuja570.497733705646oRL=98

Las concentraciones que usé para la alimentación fueron las siguientes:

Figura 3. Concentraciones de alimentación

Los coeficientes polinomiales que mencioné antes fueron los siguientes:

Figura 4. Coeficientes polinomiales para el vaso de K de cada hidrocarburo

El programa

Option Base 1

Option Explicit

Dim Arrayx(1 To 10) As Variant

Dim ArrayA(1 To 10, 1 To 10) As Variant

Dim ArrayK(1 To 20) As Variant

Dim ArrayKp(1 To 20) As Variant

Dim i, j, NC, kk, L, Fila As Integer

Dim T As Double

Dim Sum, Sumr, Tv, Tn, MM, MMM, MMMM, Sump As Variant

Dim De_Nuevo As String

Dim HH As Double

Sub DESTILACION()

Fila = 36: Sum = 0: Sumr = 0

‘Limpieza

Worksheets(“Hoja1”).Range(“A36:f300”).Clear

Arrayx(1) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(2, 3)

Arrayx(2) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(3, 3)

Arrayx(3) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(4, 3)

Arrayx(4) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(5, 3)

Arrayx(5) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(6, 3)

‘x(6) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(7, 3)

‘x(7) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(8, 3)

NC = 5

ArrayA(1, 1) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(9, 3)

ArrayA(2, 1) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(10, 3)

ArrayA(3, 1) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(11, 3)

ArrayA(4, 1) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(12, 3)

ArrayA(1, 2) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(14, 3)

ArrayA(2, 2) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(15, 3)

ArrayA(3, 2) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(16, 3)

ArrayA(4, 2) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(17, 3)

ArrayA(1, 3) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(22, 3)

ArrayA(2, 3) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(23, 3)

ArrayA(3, 3) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(24, 3)

ArrayA(4, 3) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(25, 3)

ArrayA(1, 4) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(26, 3)

ArrayA(2, 4) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(27, 3)

ArrayA(3, 4) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(28, 3)

ArrayA(4, 4) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(29, 3)

ArrayA(1, 5) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(30, 3)

ArrayA(2, 5) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(31, 3)

ArrayA(3, 5) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(32, 3)

ArrayA(4, 5) = Worksheets(“Hoja1”).Cells(33, 3)

T = Worksheets(“Hoja1”).Cells(13, 3)

T = T + 459.67

For kk = 1 To NC

ArrayK(kk) = 0

Next kk

Call Calculo_de_K(T, ArrayA(), ArrayK(), NC)

Call Imprimir_Resultados(Fila, ArrayK(), kk, NC)

Call Calculo_Funcion_Temperatura_Burbuja_Rocio(ArrayK(), Arrayx(), T, Fila, Sum, Sumr)

Tv = 700

Call Calculo_del_Punto_Burbuja(Tv, Tn, ArrayA(), ArrayK(), ArrayKp(), Fila, Arrayx())

End Sub

Sub Calculo_de_K(T, ArrayA(), ArrayK(), NC)

For kk = 1 To NC

ArrayK(kk) = T * (ArrayA(1, kk) + ArrayA(2, kk) * T + ArrayA(3, kk) * T ^ 2 + ArrayA(4, kk) * T ^ 3) ^ 3

Next kk

End Sub

Sub Imprimir_Resultados(Fila, ArrayK(), kk, NC)

For kk = 1 To NC

Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila, 1) = “K(” & kk & “)=” & ArrayK(kk)

Fila = Fila + 1

Next kk

End Sub

Sub Calculo_Funcion_Temperatura_Burbuja_Rocio(ArrayK(), Arrayx(), T, Fila, Sum, Sumr)

Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila, 1) = “T,oR”

Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila, 2) = “Fb(T)”

‘Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila, 3) = “Fr(T)”

Fila = Fila + 1

For T = 100 To 600 Step 10

For kk = 1 To NC

ArrayK(kk) = T * (ArrayA(1, kk) + ArrayA(2, kk) * T + ArrayA(3, kk) * T ^ 2 + ArrayA(4, kk) * T ^ 3) ^ 3

Sum = Sum + ArrayK(kk) * Arrayx(kk)

‘Sumr = Sumr + (1 / ArrayK(kk)) * Arrayx(kk)

Next kk

Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila, 1) = T

Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila, 2) = Sum – 1

‘Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila, 3) = Sumr – 1

Sum = 0: Sumr = 0: Fila = Fila + 1

Next T

End Sub

Sub Calculo_del_Punto_Burbuja(Tv, Tn, ArrayA(), ArrayK(), ArrayKp(), Fila, Arrayx())

Sum = 0: Sump = 0: L = 0

De_Nuevo:

For kk = 1 To NC

ArrayK(kk) = Tv * (ArrayA(1, kk) + ArrayA(2, kk) * Tv + ArrayA(3, kk) * Tv ^ 2 + ArrayA(4, kk) * Tv ^ 3) ^ 3

Sum = Sum + ArrayK(kk) * Arrayx(kk)

Next kk

For kk = 1 To NC

MM = (ArrayA(1, kk) + ArrayA(2, kk) * Tv + ArrayA(3, kk) * Tv ^ 2 + ArrayA(4, kk) * Tv ^ 3) * 2

MMM = ArrayA(2, kk) + 2 * ArrayA(3, kk) * Tv + 3 * ArrayA(4, kk) * Tv ^ 2

MMMM = (ArrayA(1, kk) + ArrayA(2, kk) * Tv + ArrayA(3, kk) * Tv ^ 2 + ArrayA(4, kk) * Tv ^ 3) ^ 3

ArrayKp(kk) = 3 * Tv * MM * MMM + MMMM

Sump = Sump + ArrayKp(kk) * Arrayx(kk)

Next kk

Tn = Tv – (((Sum – 1) / Sump))

If Abs(Tn – Tv) < 0.01 Then

Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila, 1) = “Pto.Burbuja” & Tn & ” oR” & “L=” & L

Exit Sub

Else

Tv = Tn: Sum = 0: Sump = 0

L = L + 1

End If

If L > 100 Then

Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila, 1) = “L=” & L

Exit Sub

Else

GoTo De_Nuevo

End If

End Sub

Trabajos Citados

Buford D. Smith et al. (1963). Design of Equilibrium Stage Processes. New York, New York, U.S.A.: McGraw-Hill Book Company.

Charles Holland (1963). Multicomponent Distillation. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall, Inc.

George Granger Brown et al. (1960, 7th printing). Unit Operations. (J. W. Sons, Ed.) New York, New York, U.S.A.: John Wiley & Sons.

Del libro de (Earle, 1983) obtuve la fórmula siguiente, que en la versió electrónica tiene un error tipográfico que, ya corregido obtiene la expresión siguiente, que es la base del artículo.

En la ecuación anterior, w es la concentración de sólidos por unidad de volumen, V es el volumen filtrado,  es la viscosidad en N-s/m², t es el tiempo en segundos, y  es la caída de presión a través la torta en N/m².

Si se ejecuta el paréntesis curvo en el denominador de la fórmula anterior, se obtiene la siguiente expresión.

Tanto en la primera ecuación, cuanto en la segunda L corresponde a la resistencia del medio filtrante, que –dicho sea de paso, no tomé en cuenta en mi artículo anterior (Simulación de la operación de un filtro prensa) , porque en estricto sentido, ese valor debe determinarse experimentalmente haciendo mediciones sobre el equipo físico, del que yo no dispongo.

Sin embargo de lo que queda dicho, se me ocurrió que debería haber una manera de determinar la resistencia del medio filtrante mediante la formulación de una ecuación lineal que tuviese una pendiente y una ordenada al origen y, para los fines consiguientes se me ocurrió trabajar con la ecuación de Earle quya mencioné, y tratar de encontrar la expresión de la línea recta,

Para este fin escribí la última ecuación de la manera que muestro a continuación,

Y pasé la A al numerador para obtener la expresión que muestro a continuación.

Después de haber manipulado la ecuación de la manera que queda descrita, despejé el , porque lo que tenía en mientes era una filtración a velocidad constante, habiendo obtenido la expresión que consigno a continuación.

A continuación escribí la ecuación de la manera siguiente, expresión en la que ya puede vislumbrarse la forma lineal, en donde ∆P/v debe quedar como variable dependiente, y    debe quedar como variable independiente; y donde  y  son conjuntos de parámetros que no cambian durante la filtración, y  es la resistencia específica de la torta expresada en m/kg y L, que es lo que se busca, es la ordenada al origen.

Para estos fines escribí la ecuación anterior e la siguiente forma

Y luego la reescribí como muestro a continuación.

Y la dividí por el grupo de parámetros que son comunes a los dos términos, para obtener la siguiente ecuación, que es la que utilicé para conatruir rl gráfico que muestro en este artículo, que es la expresión deseada.

Para lograr los valores  requeridos para el gráfico ejecuté el programa de mi anterior artículo cuatro veces para velocidades constantes cercanas, que presento en forma de matriz, del cual utilicé la primera y la segunda columnas.

Figura 1. Resultado de cuatro ejecuciones del programa de simulación de operación de filtro prensa en modalidad velocidad constante

Como es obvio, la primera columna resulta de dividir la penúltima columna por la última columna. De la manera explicada pude obtener el siguiente resultado del que se puede concluir que la resistencia del medio filtrante virtual es igual a 6×10^-12 m de lodo que se filtra. (http://www.filtration-and-separation.com/filter-table.htm, s.f.)

Figura 2. Gráfico V/A vs. Dp/v

Conclusiones

1. Si se acepta el desarrollo presentado, la ordenada al origen es igual a 6E-12 m, que sería el valor de la resistencia del medio filtrante.
2. Esto es tan sólo una lucubración matemática. Sería interesante comparar este valor con valores experimentales.
3. El resultado aquí obtenido, es puramente teórico. Esto quiere decir que se ajusta a todo lo que estaablece la teoría de la filtración, aunque, de la bibliografía revisada y de los modelos realizados se puede deducir que el orden de magnitud de las resistencias de los medios es Pa, y el orden de magnitud de las resistencias de las tortas es kPa, y que las determinaciones de las resistencias del medio filtrante se establecen experimentalmente.

Trabajos Citados

(n.d.). Retrieved June 25, 2017, from http://www.filtration-and-separation.com/filter-table.htm

Earle, R. L. (1983). Unit Operations in Food Processing. (P. Press, Ed.) New York, New York, U.S.A.: Pergamon Press.

El modelo matemático

Para propósitos de operación general un filtro prensa puede manejarse, mediante los respectivos controles, a velocidad constante, o a presión constante. Es por esto que el modelo que se ha presentado permite simular la operación en estas dos modalidades.

Sin embargo de lo que queda dicho, (George Granger Brown and Associates, 1950) indica muy acertadamente que el arranque del filtro prensa debe realizarse a una velocidad constante adecuada, para permitir que se empiece a formar la torta, cosa que no ocurriría si la operación comienza a una presión constante elevada de 500 kPa, por ejemplo.

El modelo no considera estos refinamientos, aunque podría haberlo hecho, incluyendo el tiempo de llenado del filtro, en que no se observa el egreso de filtrado porque el lodo que ingresa está llenando el filtro.

Por estas razones indicaremos brevemente los modelos matemáticos de presión constante y de velocidad constante, en ese orden, para que los amables lectores puedan comprender cómo funciona el modelo.

Filtración a presión constante

En este caso la caída de presión a través del filtro es un parámetro más, ya que –por ser parámetro- su valor no varíadurante el tiempo virtual de la simulación.

Hay muchísimas fuentes que pueden utilizarse para fines de modelar el funcionamiento del filtro. La Ecuación fundamental para la filtración utiliza el enfoque clásico de los Fenómenos de Transporte en Ingeniería Química, que no es otro que el postular una fuerza motriz que promueve el fenómeno, que es una magnitud que se encuentra en el numerador, que no es otra que la caída de presión ΔP, y en el denominador se utiliza la s (Perry)uma de las resistencias, que está dada por la Resistencia de la torta, que es variable, porque su espesor crece a medida que progresa la filtración, hasta llegar hasta el borde del marco del filtro, punto en el cual la filtración debe interrumpirse so pena de que la presión aumente hasta un valor que produzca la explosión del marco o de la unión de la tela que une un marco con otro, fenómeno que no es tan raro como podría parecer, si no se utiliza un control automático que cierre la válvula de entrada del lodo a una presión dada.

La ecuación fundamental para la filtración es entonces la siguiente, que se publicó inicialmente en Trans. Inst. Chem. Engnrs.,1938, con el nombre de Ecuación de Carmán, que la reproduce  (Perry).

En el modelo que yo desarrollé tomé la resistencia del medio filtrante como cero, porque ese parámetro debe determinarse experimentalmente.

Como ya hemos dicho, el primer término del denominador corresponde a la resistencia de la torta, y el segundo representa la resistencia del medio filtrante, que se debe determinar experimentalmente, y que yo lo asumí como cero, precisamente por esta causa.

Quedando así las cosas, cuando el filtrado se realiza a presión constante ΔP es un parámetro más, como lo son α, la resistencia específica del filtro, W es la masa de sólidos suspendidos en el lodo, y μ es la viscosidad cinemática, en N-s/m² y r es la resistencia del medio filtrante.

Como yo he escogido la nomenclatura de (Earle, 1983) la anterior fórmula se maneja, con los símbolos del autor citado, de la siguiente manera.

Como escogí que la resistencia del medio filtrante sea cero, entonces en mí artículo, la velocidad de filtración de un proceso a ΔP constante se representaría de la siguiente forma.

Donde W representar la masa total de sólidos en el lodo, que es igual a la concentración de sólidos w (símbolo algébrico en minúscula) multiplicado por el volumen de lodo filtrado,

Si se combinan las dos expresiones obtiene la siguiente ecuación:

De la expresion anterior se puede escribir la ecuación que permite calcular la velocidad de filtración en modalidad de filtración a presión constante, que es la siguiente.

Lo que quiere decir que, a presión constante la velocidad varía, y que depende del valor de la caída de presión impuesta por el operador y limitada por el fabricante del equipo.

Filtración a velocidad constante

Si se utiliza la ecuación de Carmán se obtiene la expresión diferencial para la caída de presión en filtración a velocidad constante, que es la siguiente.

La misma que, una vez que se efectúan las integraciones, queda como se muestra a continuación.

Cálculos comunes a ambas modalidades

Hay cálculos que se deben realizar de igual manera, sin que la modalidad de operación tenga que ver con ello, y son: el volumen filtrado, y y el espesor del cake o torta, que al final es el parámetro que determina la duración de la filtración.

Las expresiones para esto son las que siguen.

Volumen filtrado

El volumen filtrado se representa por medio de la siguiente expresión.

Masa de la torta o cake

La actualización de la masa de torta se reduce a un balance de masa de los sólidos que se van depositando sobre el medio filtrante, que se puede representar por medio de las dos expresiones siguientes donde  es la porosidad del cake o torta.

De donde la expresión para L_c puede expresarse de la siguiente manera:

La simulación del filtro prensa

La simulación del filtro prensa viene a cuento a raíz de una investigación que estoy haciendo sobre la digestión de excremento de pollos por medio de bacterias liofilizadas mezcladas con enzimas. Las enzimas segmentan el sustrato para que éste pueda pasar a través de las membranas celulares de las bacterias y éstas lo metabolicen.

En el argot de aquellos que usan el excremento como abono, éste se conoce como “gallinaza”, y consiste de una mezcla del excremento propiamente dicho con virutas de madera y cascarilla de arroz, mezcla que hace que la operación manual de recolección se facilite debido a la gomosidad del excremento, que es la reesponsable de la adherencia de éste a las virutas y a la cascarilla, sustancias con las que forma una sola masa macrocópicamente heterogénea.

Esta mezcla, que es fácil de recolectar, se convierte en su estado original en un obstáculo para la para la digestión bacteriana, porque las enzimas digieren con menos facilidad la madera y la cascarilla, que es fibrosa; y porque el análisis de los sólidos digeridos, se dificulta mucho, como me di cuenta cuando, al principio, quise digerir la mezcla en su totalidad (excremento, viruta, y cascarilla); y porque, además, las virutas y la cascarilla constituyen aproximadamente un ochenta por ciento de la mezcla.

Entendido esto me di cuenta que debía utilizar filtración para separar los sólidos, de manera de poder aprovechar más eficientemente las enzimas sólo para la digestión del excremento.

También me di cuenta de que después de la digestión debía separar los sólidos no digeribles, también por filtración.

Fue entonces que debí ponerme a aprender los que es un filtro prensa, y cómo se maneja, a más de aquilatar la importancia de la profundidad de las cámaras, que son las que le dan la capacidad al filtro, ya que una vez que estas se llenan con torta explotarían si inadvertidamente se excede su capacidad, como sucedería si se quisiera seguir filtrando.

La profundidad de las cámaras, la superficie total de filtración, y el modo de operación (a velocidad constante o a presión constante, o mixto (George Granger Brown and Associates, 1950)) tienen, evidentemente, importancia superlativa para la especificación de un filtro, así como las tienen las propiedades fisicoquímicas del filtrado como la viscosidad, por ejemplo y la porosidad de la torta o “cake” que se forma sobre el medio filtrante.

De todas estas lucubraciones nació la idea de simular un filtro prensa, porque si no se dispone del equipo, la mejor manera de adquirir alguna idea de cómo funciona y de los parámetros de operación que son importantes, es la experimentación virtual, o simulación, ya que no conlleva riesgos de mojarse (como le ocurrió a una estudiante hace años, cuando visitabamos una empresa) si al operador se le va la mano en la presión o se olvida de cerrar la válvula de alimentación cuando el filtro está lleno; ni de incurrir en costos, porque el “equipo” sólo existe en la memoria del computador.

Para los fines consiguientes simulé la operación del filtro tanto a presión constante como a velocidad constante, lo que me permito mostrar a continuación.

Operación a presión constante

A continuación muestro la interface de usuario de la operación a presión constante.

Figura 1. Interface de usuario para operación a presión constante

Figura 2. Filtración a presión constante

Figura 3. Operación a presión constante

Figura 4. Filtración a presión constante

Como se puede ver de la gráfica anterior, la “presión constante” que en este caso fue de 50 kPa, produce una velocidad de filtración constante haccia el término de la filtración, que se evidencia en el quiebre de la curva de volumen de filtrado.

Filtrado a velocidad constante

A continuación se presenta un ejemplo de filtración a velocidad constante utilizando el mismo programa, que sirve para ilustrar las dos modalidades. Lo primero que puede observarse es que los parámetros de impresión deben cambiar en función de los diferentes tiempos de ejecución de las dos modalidades de operación.

Figura 5. Interfase de usuario para operación a velocidad constante

Figura 6. Filtrado a velocidad constante

Figura 7. Filtrado a velocidad constante

Figura 8. Filtrado a velocidad constante

Datos de filtración de Brown (George Granger Brown and Associates, 1950)

Los gráficos que siguen corresponden a la tabulación de los datos de operación de un filtro real, que presenta Brown, en su excelente libro Unit Operations  al que hube de imponerle un área para poder establecer la velocidad del filtrado.  El autor citado no proporciona más datos que una escueta tabla. No se conocen ni la profundidad de las cámaras, pero sí se advierte que es un filtro que opera a 25º kPa.

Obsérvese el quiebre en la gráfica de la presión, que se debe, en mi opinión, a que la filtración comienza cuando se abre una válvula para dejar pasar el lodo hacia el filtro, y a que deben llenarse todas las cámaras del filtro (y formarse la torta contra la superficie filtrante del marco) antes que la filtración propiamente dicha comience. Pienso que ésta es la razón por la que entre tiempo igual a cero y tiempo igual a un minuto el autor no consigna datos, que los he asumido como ceros.

Decidí colocar estos datos reales que datan de antes de 1950, que es el año de la primera impresión del libro, porque me pareció que había que darle algún viso de realidad, y de comparación. a la simulación, y porque –cosa rara- no encontré otro ejemplo en los otros libros de que dispongo, que no son muchos, y porque probablemente no busqué con suficiente acuciosidad.

La duración de una filtración depende de la velocidad a la que se pasa el lodo, de la presión a la que se pasa, y de las especificaciones del filtro

En un principio pensé en hacer algunos cambios a los parámetros de operación de “mi” filtro para obtener datos que se pudiesen comparar con los de Brown, pero luego desistí de ello. Sin embargo creo que aprendí mucho, porue la difeerencia entre “mucho” y “nada” es infinita.

Figura 9. Datos de un filtro real elaborados a partir de un problema de Brown

Código del programa

A continuación he pegado el código del programa, para todo aquél que desee implementarlo.

Option Explicit

Dim epsilon, So, k1, nnu, v, Rop, Deltat, Deltap, w, Lc, P, epsilonv, epsilonn, PB, Tiempo As Double

Dim Deltaprint, Inc, Vol_Filtrado, Dp, r As Double

Dim N, Fila As Integer

Dim A, B, C, D, E, FF, Modo_filtracion As String

Sub filtro()

epsilon = Worksheets(“Hoja1”).Cells(2, 3)

‘epsilon = epsilonv

So = Worksheets(“Hoja1”).Cells(3, 3)

k1 = Worksheets(“Hoja1”).Cells(4, 3)

nnu = Worksheets(“Hoja1”).Cells(5, 3)

v = Worksheets(“Hoja1”).Cells(6, 3)

Rop = Worksheets(“Hoja1”).Cells(7, 3)

Deltat = Worksheets(“Hoja1”).Cells(8, 3)

w = Worksheets(“Hoja1”).Cells(9, 3)

Lc = Worksheets(“Hoja1”).Cells(10, 3)

PB = Worksheets(“Hoja1”).Cells(11, 3)

Deltaprint = Worksheets(“Hoja1”).Cells(12, 3)

Inc = Worksheets(“Hoja1”).Cells(13, 3)

A = Worksheets(“Hoja1”).Cells(14, 3)

Deltap = Worksheets(“Hoja1”).Cells(16, 3)

r = Worksheets(“Hoja1”).Cells(17, 3)

Modo_filtracion = Worksheets(“Hoja1”).Cells(15, 3)

If Modo_filtracion = “Dp constante” Then

Else

Deltap = 0

End If

Worksheets(“Hoja1”).Range(“a20:f5000”).Clear

Fila = 20: Tiempo = 0: Vol_Filtrado = 0

If Modo_filtracion = “v constante” Then

Call velocidad_constante

Call Escritura_de_Titulos(Fila, “Tiempo,s”, “Lc,m”, “Volumen Filtrado,m3”, “DeltaP, Pa”, “v,m/s”)

Else

Call presion_constante

Call Escritura_de_Titulos(Fila, “Tiempo,s”, “Lc,m”, “Volumen Filtrado,m3”, “DeltaP, kPa”, “v,m/s”)

End If

Do

Tiempo = Tiempo + Deltat

Call Volumen(v, A, Vol_Filtrado, Deltat)

If Modo_filtracion = “v constante” Then

Call Caida_de_Presion(w, r, nnu, Vol_Filtrado, Deltap, Tiempo, A)

Else ‘Const Press. Filtration, Earle

v = (Deltap * A) / (nnu * Vol_Filtrado * w * r) ‘ Earle, Unit Operations in Food Processing Const. Press. Filtration

‘ Eq 10-12

End If

Call Actualizacion_Lc(Vol_Filtrado, w, Lc, Deltat, epsilon, A, Rop)

If Tiempo = Deltat Xor Tiempo >= Deltaprint Then

Call Escritura_de_Resultados(Fila, Tiempo, Lc, Inc, Deltaprint, Deltap, v, Vol_Filtrado)

End If

Loop While Lc <= PB

End Sub

Sub Caida_de_Presion(w, r, nnu, Vol_Filtrado, Deltap, Tiempo, A)

Deltap = (Vol_Filtrado ^ 2 * nnu * w * r) / (2 * A ^ 2 * Tiempo)

End Sub

Sub Actualizacion_Lc(Vol_Filtrado, w, Lc, Deltat, epsilon, A, Rop)

Lc = ((w * Vol_Filtrado) / (A * (1 – epsilon) * Rop))

End Sub

Sub Escritura_de_Titulos(Fila, A, B, C, D, E)

Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila, 1) = A

Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila, 2) = B

Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila, 3) = C

Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila, 4) = D

Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila, 5) = E

‘Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila, 6) = FF

Fila = Fila + 1

End Sub

Sub Escritura_de_Resultados(Fila, Tiempo, Lc, Inc, Deltaprint, Deltap, v, Vol_Filtrado)

Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila, 1) = Tiempo

Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila, 2) = Lc

Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila, 3) = Vol_Filtrado

Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila, 4) = Deltap / 1000 ‘kPa

Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila, 5) = v ‘m/s

‘Worksheets(“Hoja1”).Cells(Fila, 6) = Vol_Filtrado ‘m^3

Fila = Fila + 1

Deltaprint = Deltaprint + Inc

End Sub

Sub Volumen(v, A, Vol_Filtrado, Deltat)

Vol_Filtrado = Vol_Filtrado + (v * A) * Deltat

End Sub

Comentarios generales

Como comentarios me parece que hay que resaltar que se debe utilizar una bomba de desplazamiento positivo capaz de presiones considerables. Es también imprescindible hacer algunas pruebas porque colocar un valor de viscosidad en una interface de usuario es relativamente fácil, pero medir la viscosidad de una mezcla como la que menciono al principio de éste artículo es una cosa que, por el momento, no me imagino como hacer.

Se debe así mismo llevar a cabo un análisis financiero para determinar cuál habría de ser la duración de los ciclos de filtrado versus los ciclos de desarme y lavado, ya que la duración de los primeros debe ser más larga que la duración de los últimos, y –de nuevo- eso tiene que ver con todas las variable y parámetros que antes mencioné.

Otro libro que es importantísimo, y que se encuentra en la Internet es el del Profesor Earle (Earle, s.f.).

En general, investigando el asunto me i cuenta que la bibliografía es muy dispersa y los enfoques también, y que –como en todo- todos son iguales, pero hay algunos más iguales que otros.

Trabajos Citados

Earle. (s.f.). Unit Operations in Food Processing . Recuperado el 22 de June de 2017, de nzifst.org.nz

George Granger Brown and Associates. (1950). Unit Operations (Seveth printing, February, 1960 ed.). (o. W. Sons, Ed.) New York, New York, U.S.A.: John Wiley & Sons.